Question

15．已知${（{x^{\frac{2}{3}}}+3{x^2}）^n}$的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 根据展开式中各项系数和与二项式系数和的比列出方程求出n的值，
再求展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项．

解答 解：令x=1，得展开式中各项系数和为（1+3）ⁿ=2²ⁿ．
又展开式中二项式系数和为2ⁿ，
∴$\frac{{2}^{2n}}{{2}^{n}}$=32，解得n=5；…（2分）
（1）∵n=5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴${T_3}=C_5^3{（{x^{\frac{2}{3}}}）^3}{（3{x^2}）^2}=90{x^6}$，
${T_4}=C_5^3{（{x^{\frac{2}{3}}}）^2}{（3{x^2}）^3}=270{x^{\frac{22}{3}}}$；…（6分）
（2）设展开式中第k+1项的系数最大，
则由${T_{k+1}}=C_5^k{（{x^{\frac{2}{3}}}）^{5-k}}{（3{x^2}）^k}={3^k}C_5^k{x^{\frac{10+4k}{3}}}$，
得$\left\{{\begin{array}{l}{{3^k}C_5^k≥{3^{k-1}}C_5^{k-1}}\\{{3^k}C_5^k≥{3^{k+1}}C_5^{k+1}}\end{array}}\right.$，
解得$\frac{7}{2}≤k≤\frac{9}{2}$，∴k=4，即展开式中系数最大的项为
${T_5}=C_5^4（{x^{\frac{2}{3}}}）{（3{x^2}）^4}=405{x^{\frac{26}{3}}}$．      …（10分）

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应明确二项式展开式中二项式系数与各项系数的区别，是基础题目．