Question

3．已知函数f（x）=x²，g（x）=x-1．若x＜2，求g（x）+$\frac{1}{g（x-1）}$的最大值，并求相应的x值．

Answer 1

分析 由x＜2，可得2-x＞0，即有g（x）+$\frac{1}{g（x-1）}$=x-1+$\frac{1}{x-2}$=-[（2-x）+$\frac{1}{2-x}$]+1，再由基本不等式即可得到所求最大值和对应的x值．

解答 解：由x＜2，可得2-x＞0，
则g（x）+$\frac{1}{g（x-1）}$=x-1+$\frac{1}{x-2}$
=-[（2-x）+$\frac{1}{2-x}$]+1≤-2$\sqrt{（2-x）•\frac{1}{2-x}}$+1=-1
当且仅当2-x=$\frac{1}{2-x}$，即x=1取得等号，
即有g（x）+$\frac{1}{g（x-1）}$的最大值为-1，相应的x值为1．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，属于中档题．