Question

4．若一球的半径为1，其内接一圆柱，则圆柱的侧面积最大为：2π．

Answer 1

分析 由题意圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质可得出圆柱的高为h、底面半径为R与球的半径的关系，再用h和R表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值即可．

解答 解：如图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为R，侧面积为S，
则（$\frac{h}{2}$）²+R²=1²，
即h=2$\sqrt{1-{R}^{2}}$．
∵S=2πRh=4πR•$\sqrt{1-{R}^{2}}$=4π$\sqrt{{R}^{2}（1-{R}^{2}）}$≤4π$\sqrt{\frac{1}{4}}$=2π，
取等号时，内接圆柱底面半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，高为$\sqrt{2}$．
故答案为：2π．

点评 本题考查球与圆柱的组合体问题、以及利用基本不等式求最值问题，难度一般．