Question

如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P-ABFED，且PB=

10

．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B-AP-O的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得BD∥EF，BD⊥AC，从而EF⊥AC，EF⊥AO，EF⊥PO，由此能证明BD⊥平面POA．
（2）设AO∩BD=H，连结BO，则△ABD是等边三角形，从而BD=4，BH=2，HA=2

3

，HO=PO=

3

，BO=

7

，进而PO⊥BO，PO⊥平面BFED，过H作HG⊥AP，垂足为G，连结BG，∠BGH为二面角B-AP-O的平面角，由此能求出二面角B-AP-O的正切值．

解答： （1）证明：∵点E，F分别是边CD、CB的中点，
∴BD∥EF，
∴菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，
∴EF⊥AO，EF⊥PO，
∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，
∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．
（2）解：设AO∩BD=H，连结BO，
∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，
∴BD=4，BH=2，HA=2

3

，HO=PO=

3

，
在Rt△BHO中，BO=

BH2+HO2

=

7

，
在PBO中，BO²+PO²=10=PB²，
∴PO⊥BO，
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，
∴PO⊥平面BFED，
过H作HG⊥AP，垂足为G，连结BG，
由（1）知BH⊥平面POA，且AP?平面POA，
∴BH⊥AP，
∵HG∩BH=H，HG?平面BHG，BH?平面BHG，
∴AP⊥平面BHG，BG?平面BHG，
∵BG?平面BHG，∴AP⊥BG，
∴∠BGH为二面角B-AP-O的平面角，
在Rt△POA中，AP=

AO2+PO2

=

30

，
在Rt△POA和Rt△HGA\中，∠POA=∠HGA=90°，∠APO=∠HAG，
∴△POA∽△HGA，∴

PO

HG

=

PA

HA

，
∴HG=

PO•HA

PA

=

3 ×2 3

30

=

30

5

．
在Rt△BHG中，tan∠BGH=

BH

HG

=

2

30 5

=

30

3

．
∴二面角B-AP-O的正切值为

30

3

．

点评：本题考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．