题目内容
求证：对任意自然数n，总有
+
+
+…+
＜3．
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 2n-1 |
| 2n |
考点：数列与不等式的综合,数列的求和
专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用
分析：直接利用错位相减法求出数列的和，则数列不等式可证．
解答：
证明：令Sn=
+
+
+…+
，
则
Sn=
+
+…+
+
，
作差得：
Sn=
+
+
+…+
-
=
+
-
=
-
-
，
∴Sn=3-
-
＜3．
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 2n-1 |
| 2n |
则
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 2n-3 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
作差得：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 2n |
=
| 1 |
| 2 |
| ||||
1-
|
| 2n-1 |
| 2n |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 2n |
∴Sn=3-
| 1 |
| 2n-2 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了错位相减法求数列的前n项和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．
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