Question

已知函数，f（x）=x²+lnx-ax．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设g（x）=1+x|x-a|（1≤x≤3），求函数g（x）的最大值．

Answer 1

考点：变化的快慢与变化率,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过a=3，求出函数的导数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，直接求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出函数的导数，利用f（x）在（0，1）上有极值，结合判别式，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，对于a≥3，2

2

＜a＜3时，转化函数g（x）=1+x|x-a|（1≤x≤3），分别求解函数g（x）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=3，∴f(x)=x2+lnx-3x，f′(x)=2x+

1

x

-3=

2x2+1-3x

x

，
∵x＞0，由f′(x)＞0⇒x＞1或x＜

1

2

，
由f′(x)＜0⇒

1

2

＜x＜1，
∴f（x）的增区间是(0，

1

2

)，(1，+∞)，减区间是(

1

2

，1)．
（Ⅱ）∵f′(x)=

2x2-ax+1

x

，由已知可得，方程2x²-ax+1=0在（0，1）内有解，且△≠0．
∴a=

2x2+1

x

=2x+

1

x

，∵函数y=2x+

1

x

在(0，

2

2

)递减，(

2

2

，1)递增，
所以y=2x+

1

x

≥2

2

，由△≠0⇒a2-8≠0，a≠2

2

，∴a＞2

2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得a＞2

2

．
1°当a≥3时，g(x)=1+ax-x2=-(x-

a

2

)2+1+

a2

4

，∵

a

2

≥

3

2

，1≤x≤3，
若

3

2

≤

a

2

＜3，即3≤a＜6时，g(x)max=g(

a

2

)=1+

a2

4

．
若

a

2

≥3，即a≥6时，g（x）_max=g（3）=3a-8．
2°当2

2

＜a＜3时，g(x)=

-x2+ax+1(1≤x≤a) x2-ax+1(a≤x≤3)

=

-(x- a 2 )2+1+ a2 4 (1≤x≤a) (x- a 2 )2+1- a2 4 (a≤x≤3)

∵

2

＜

a

2

＜

3

2

，1≤x≤3，
当1≤x≤a时，g(x)max=g(

a

2

)=1+

a2

4

．当a≤x≤3时，g（x）_max=g（3）=3a-8，
∵(1+

a2

4

)-(3a-8)=

a2

4

-3a+9=(

a

2

-3)2≥0，∴1+

a2

4

≥3a-8，
所以，当2

2

＜a＜3时，g(x)max=1+

a2

4

．
综上可得，g(x)max=

1+ a2 4 (2 2 ＜a＜6) 3a-8(a≥6)

．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及最值的求法，难度比较大，考查计算能力转化思想的应用．