Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，二面角B-CD-E的余弦值为

4

5

，AE=3．
（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）要证BE∥平面ACF，可在平面ACF内找到一条与BE平行的直线，在三角形BDE中，设AC，BD交点为O，由三角形中位线定理可得OF∥BE，则结论得到证明；
（Ⅱ）找出直线BE与平面ABCD所成角，根据已知求出正方形ABCD的边长，通过求解直角三角形ABE得到直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

解答： 证明：（Ⅰ）连结AC，BD交于O，连OF，
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．
（Ⅱ）解：∵AE⊥平面CDE，
∴AE⊥CD，
又AD⊥CD，
∴CD⊥面ADE，
∴CD⊥DE．
二面角B-CD-E的平面角为∠ADE，
在直角三角形AED中，
∵AE=3，cos∠ADE=

4

5

．
可求得正方形ABCD的边长为5
过E作EH⊥AD于H，连结BH，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，BH为BE在平面ABCD内的射影，
∴∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，
又∵CD∥AB，∴AB⊥平面DAE，
∴△ABE为直角三角形，
∴BE=

34

，且HE=

12

5

，sin∠EBH=

6 34

85

．

点评：本题考查了空间直线与平面平行的判断，考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．