Question

已知命题r（x）：?x∈R，x²-2x+1-

2

＞m；s（x）：?x∈R，x²+mx+1＞0，如果r（x）与s（x）中有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：先考虑r（x），s（x）均为真命题，求出m的取值范围，再由r（x）真，s（x）假，或r（x）假，s（x）真，分别求出m的范围，再求并即可．

解答： 解：∵x²-2x+1-

2

=（x-1）²-

2

≥-

2

，
∴?x∈R，x²-2x+1-

2

＞m，即有m＜-

2

．
又∵?x∈R，x²+mx+1＞0，
∴△=m²-4＜0，∴-2＜m＜2．
∴当r（x）真，s（x）假，即m＜-

2

且m≥2或m≤-2，
则m≤-2；
当r（x）假，s（x）真，即m≥-

2

且-2＜m＜2，
则-

2

≤m＜2．
综上，实数m的取值范围是m≤-2或-

2

≤m＜2．

点评：本题考查命题的真假的判断及运用，考查不等式恒成立转化为求最值问题，或运用图象求解，考查运算能力，属于中档题．