Question

已知x+y=1，y＞0，x≠0，则

1

2|x|

+

|x|

y+1

最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：不等式的解法及应用

分析：根据条件利用消元法，转化为关于x的式子，利用基本不等式的性质即可求出式子的最值．

解答： 解：由x+y=1，y＞0得y=1-x＞0，
解得x＜1且x≠0．
①当0＜x＜1时，

1

2|x|

+

|x|

y+1

=

1

2x

+

x

y+1

=

1

2x

+

x

2-x

=

x+2-x

4x

+

x

2-x

=

1

4

+

2-x

4x

+

x

2-x

≥

1

4

+2

2-x 4x • x 2-x

=

1

4

+2

1 4

=

1

4

+1=

5

4

，
当且仅当

2-x

4x

=

x

2-x

，即x=

2

3

时取等号，此时的最小值

5

4

．
②当x＜0时，

1

2|x|

+

|x|

y+1

=

1

-2x

-

x

2-x

=

2-x+x

-4x

+

-x

2-x

=

2-x

-4x

+

-x

2-x

-

1

4

，
∵x＜0，∴-x＞0，2-x＞0，
∴

1

2|x|

+

|x|

y+1

=

2-x

-4x

+

-x

2-x

-

1

4

≥2

2-x -4x • -x 2-x

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

，当且仅当-

2-x

4x

=-

x

2-x

，
即（2-x）²=4x²，即3x²+4x-4=0，解得x=-2或x=

2

3

（舍）时，取得号，此时最小值为

3

4

，
综上

1

2|x|

+

|x|

y+1

最小值为

3

4

，
故答案为：

3

4

点评：本题主要考查式子最值的求解，根据条件结合基本不等式的应用是解决本题的关键．综合性较强，有一点的难度．