Question

19．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为BC的中点，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$，则λ+μ=（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$的坐标表示，进而得到答案．

解答 解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，
则B（1，0），E（-1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1），
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），
又∵P是BC的中点时，
∴$\overrightarrow{AP}$=（1，$\frac{1}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}λ-μ=1\\ μ=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}λ=\frac{3}{2}\\ μ=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴λ+μ=2，
故选：B

点评 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量加减的几何意义，数形结合思想，难度中档．