Question

10．若F₁，F₂是椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{m}$=1（0＜m＜9）的两个焦点，椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF₁相切于该线段的中点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0，$\sqrt{5}$）的直线l与椭圆C交于两点A、B，线段AB的中垂线l₁交x轴于点N，R是线段AN的中点，求直线l₁与直线BR的交点E的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=3，b=$\sqrt{m}$，设椭圆的下焦点F₁，设线段PF₁的中点为：M；由题意，OM⊥PF₁，又OM=b，OM是△PF₁F₂的中位线，由椭圆定义，在Rt△OMF₁中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解椭圆C的方程．
（Ⅱ）上焦点坐标（0，$\sqrt{5}$）．直线l的斜率k必存在．设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），弦AB的中点Q（x₀，y₀），利用平方差法得到AB的斜率，通过（1）当x₀≠0时，k=k_AB=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{5}}{{x}_{0}}$，推出9x₀²+4y₀²-4$\sqrt{5}$y₀=0，连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），利用重心坐标公式，推出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=4x}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$代入9x₀²+4y₀²-4$\sqrt{5}$y₀=0轨迹方程，（2）当x₀=0时，验证即可．

解答 解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b=$\sqrt{m}$，不妨设椭圆的下焦点F₁，设线段PF₁的中点为：M；
由题意，OM⊥PF₁，又OM=b，OM是△PF₁F₂的中位线，
∴|PF₂|=2b，
由椭圆定义，|PF₁|=2a-2b=6-2b．∴$|M{F}_{1}|=\frac{1}{2}|P{F}_{1}|$=3-b，
在Rt△OMF₁中：$|O{F}_{1}{|}^{2}=|OM{|}^{2}+|M{F}_{1}{|}^{2}$，
∴c²=b²+（3-b）²，又c²=a²-b²=9-b²．，
∴b²+（3-b）²=9-b²交点b=0（舍去）或b=2，∴m=b²=4．
∴椭圆C的方程：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆C的方程：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
上焦点坐标（0，$\sqrt{5}$）．直线l的斜率k必存在．
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），弦AB的中点Q（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{{{4x}_{1}}^{2}+9{{y}_{1}}^{2}=36}\\{4{{x}_{2}}^{2}+9{{y}_{2}}^{2}=36}\end{array}\right.$，可得4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-9（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{9{x}_{0}}{4{y}_{0}}$（y₀≠0）
（1）当x₀≠0时，k=k_AB=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{5}}{{x}_{0}}$∴k=$-\frac{9{x}_{0}}{4{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{5}}{{x}_{0}}$⇒9x₀²+4y₀²-4$\sqrt{5}$y₀=0，•
又l₁：y-y₀=$\frac{4{y}_{0}}{9{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，∴N（$-\frac{5}{4}{x}_{0}，0$），
连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+（-\frac{5}{4}{x}_{0}）}{3}=\frac{{x}_{0}}{4}}\\{9=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+0}{3}=\frac{2{y}_{0}}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=4x}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$代入9x₀²+4y₀²-4$\sqrt{5}$y₀=0可得：48x²+3y²-2$\sqrt{5}y=0$，（y≠0）．
（2）当x₀=0时，l：y=$\sqrt{5}$，N（0，0），E（0，$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）也适合上式，
综上所述，点E的轨迹方程为：48x²+3y²-2$\sqrt{5}y=0$，（y≠0）．

点评 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．