Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+1．
（1）求y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求y=f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，求出切线方程即可；（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+1，
知f′（x）=x²-2x-3，
∴f′（1）=-4，所以函数在x=1处的切线的斜率为-4，
又∵f（1）=-$\frac{8}{3}$，
故切线方程为y+$\frac{8}{3}$=-4（x-1），即y=-4x+$\frac{4}{3}$；
（2）令f′（x）=0，得x=-1或x=3，
x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表知，y=f（x）的极大值点为x=-1，极小值点为x=3．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查切线方程，是一道中档题．