Question

如果关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（

1

b

，

1

a

），那么称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x²-4

3

x•cos2θ+2＜0与不等式2x²+4x•sin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（

π

2

，π），则cosθ=

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：根据对偶不等式的定义，以及不等式的解集和方程之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：设不等式x²-4

3

x•cos2θ+2＜0的解集为（a，b），由题意可得不等式2x²-4xsin2θ+1＜0的解集（

1

b

，

1

a

），
即x=a，x=b是方程x²-4

3

x•cos2θ+2=0的两个根，
x=

1

b

，x=

1

a

是2x²-4xsin2θ+1=0的两个根
由一元二次方程与不等式的关系可知，
整理可得，

ab=2 a+b=4 3 cos2θ 1 a + 1 b = a+b ab =2sin2θ

，整理得

3

cos2θ=sin2θ，
即tan2θ=

3

，
∵θ∈（

π

2

，π），
∴2θ∈（π，2π），
∴θ=

2π

3

，即cosθ=-

3

2

故答案为：-

3

2

点评：本题以新定义为载体，考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化关系，方程的根与系数的关系，是一道综合性比较好的试题．