Question

6．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x＞1}\\{4x-1，x≤1}\end{array}\right.$，则满足f（f（a））=3^f（a）的实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 令f（a）=t，则f（t）=3^t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a≤1，a＞1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：则函数f（x）在定义域上为增函数，
设f（a）=t，
则f（t）=3^t，
当t＜1时，4t-1=3^t，即4t-1-3^t=0，
设g（t）=4t-1-3^t，
则导数为g′（t）=4-3^tln3，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（-∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）=0，
则方程4t-1=3^t无解；
当t≥1时，f（t）=3^t成立，
由f（a）≥1，
若a≤1，则4a-1≥1，解得a≥$\frac{1}{2}$，且a≤1，此时$\frac{1}{2}$≤a≤1；
若a＞1，则3^a≥1解得a≥0，即为a＞1．
综上可得a的范围是a≥$\frac{1}{2}$．
故选：A

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．