Question

设α，β为锐角，那么“sin²α+sin²β=sin（α+β）”是“α+β=

π

2

”的（　　）

• A、充分非必要条件
• B、必要非充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：先利用反证法证明“sin²α+sin²β=sin（α+β）”⇒“α+β=

π

2

”成立，再证明“sin²α+sin²β=sin（α+β）”?“α+β=

π

2

”成立，进而根据充要条件的定义，得到答案．

解答： 解：若α+β＞

π

2

，即α＞

π

2

-β，
则sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，
则sin²α＞cos²β，
则sin²α+sin²β＞cos²β+sin²β=1≠sin（α+β），
若α+β＜

π

2

，即α＜

π

2

-β，
则cosα＞cos（

π

2

-β）=sinβ，同理cosβ＞sinα，
则sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ＞sin²α+sin²β，
综上，“sin²α+sin²β=sin（α+β）”时必有“α+β=

π

2

”，
即“sin²α+sin²β=sin（α+β）”是“α+β=

π

2

”充分条件；
当“α+β=

π

2

”时，“sin²α+sin²β=sin（α+β）”显然成立，
故“sin²α+sin²β=sin（α+β）”是“α+β=

π

2

”必要条件；
故α，β为锐角时，那么“sin²α+sin²β=sin（α+β）”是“α+β=

π

2

”的充要条件；
故选：C

点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．