Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，点P为面ADD₁A₁的对角线AD₁上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．
（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；
（2）当PN最小时，求异面直线PN与A₁C₁所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用,空间角

分析：（1）求出PM，AM，运用余弦定理，求得PN；
（2）求出PN的最小值，由于MN∥AC，又A₁C₁∥AC，∠PNM为异面直线PN与A₁C₁所成角的平面角，通过解直角三角形PMN，即可得到．

解答： 解：（1）在△APM中，PM=

2 5 x

5

，AM=

5 x

5

； 
其中0＜x＜2

5

； 
在△MND中，MN=

2

2

(2-

5

5

x)，
在△PMN中，PN=

9 10 x2- 2 5 5 x+2

，x∈(0，2

5

)；
（2）当x=

2 5

9

∈(0，2

5

)时，PN最小，此时PN=

4

3

．
因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A₁C₁∥AC，
∠PNM为异面直线PN与A₁C₁所成角的平面角，
在△PMN中，∠PMN为直角，tan∠PNM=

2

4

，
所以∠PNM=arctan

2

4

，
异面直线PN与A₁C₁所成角的大小arctan

2

4

．

点评：本题考查空间异面直线所成的角的求法，考查二次函数的性质和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．