Question

已知两个定点坐标分别是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2

5

．
（1）求曲线C的方程；
（2）过F₁（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得曲线C的以F₁（-3，0），F₂（3，0）的双曲线，且实轴长2a=2

5

，由此能求出曲线C的方程．
（2）直线方程为y=x+3，联立

y=x-3 x2 5 - y2 4 =1

，得x²-30x+65=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出△ABF₂的面积．

解答： 解：（1）∵两个定点坐标分别是F₁（-3，0），F₂（3，0），
曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2

5

，
∴曲线C的以F₁（-3，0），F₂（3，0）的双曲线，且实轴长2a=2

5

，
∴a²=5，b²=9-5=4，
∴曲线C的方程为

x2

5

-

y2

4

=1．
（2）过F₁（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线，
直线方程为y=x+3，
联立

y=x-3 x2 5 - y2 4 =1

，得x²-30x+65=0，
△=900-4×65=640＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=30，x₁x₂=65，
|AB|=

(1+1)(900-4×65)

=16

5

，
F₂（3，0）到直线y=x+3的距离d=

|3-0+3|

2

=3

2

，
∴△ABF₂的面积S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×16

5

×3

2

=24

10

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．