Question

设函数f（x）=

ax

1+ax

（a＞0a≠1），其中[m]表示不超过m的最大整数，如[4.1]=4，则函数y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]的值域是（　　）

• A、{0，1}
• B、{-1，1}
• C、{-1，0}
• D、{-1，0，1}

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题先记g（x）=f（x）-

1

2

，研究g（-x）与g（x）的关系，证明函数g（x）为奇函数，得到g（-x）与g（x）互为相反数，再将g（x）表示成首数[g（x）]和尾数h（x），然后分尾数h（x）=0或h（x）∈（0，1）进行分类讨论，研究[g（-x）]，得到[g（-x）]与[g（x）]的关系，从而求出[g（x）]+[g（-x）]的值，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）=

ax

1+ax

（a＞0，a≠1），
∴记g（x）=f（x）-

1

2

，
则g（-x）=f（-x）-

1

2

，
=

ax

1+ax

-

1

2

+

a-x

1+a-x

-

1

2

=

ax

1+ax

+

1

1+ax

-1
=0，
∴g（-x）=-g（x），
∴g（x）为奇函数．
∵函数y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]，
∴y=[g（x）]+[g（-x）]．
记h（x）=g（x）-[g（x）]，
则h（x）∈[0，1）．
①当h（x）=0时，
∴g（x）=[g（x）]，
g（-x）=-g（x）=-[g（x）]，
[g（-x）]=-[g（x）]，
∴[g（x）]+[g（-x）]=0，
∴y=0；
②当h（x）∈（0，1）时，
∴g（x）=[g（x）]+h（x），
∴g（-x）=-g（x）=-[g（x）]-h（x）=-[g（x）]-1+1-h（x），
其中1-h（x）∈（0，1），
∴[g（-x）]=-[g（x）]-1，
∴[g（x）]+[g（-x）]=-1，
∴y=-1．
∴函数y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]的值域为{0，-1}．
故选C．

点评：本题考查了函数的奇偶性、数的整数部分和尾数部分，还考查了分类讨论的思想方法，本题思维难度较大，有一定的新颖性，属于中档题．