Question

已知函数f（x）=alnx-x+

1

x

．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞0时，ln（1+

1

x

）＜

1

x2+x

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，对a讨论，当a≤0，当0＜a≤2时，当a＞2时，讨论导数的符号，通过解二次不等式，即可得到单调区间；
（2）可运用令t=

1

x

，构造函数y=ln（1+t）-

t

1+t

，通过求导数，判断单调性，即可得证．

解答： （1）解：f（x）的导数为f′（x）=

a

x

-1-

1

x2

=

ax-x2-1

x2

（x＞0），
当a≤0，则f′（x）＜0，则f（x）递减，即减区间为（0，+∞）；
当0＜a≤2时，则f′（x）＜0，则f（x）递减，即减区间为（0，+∞）；
当a＞2时，令ax-x²-1=0，解得，x_1，2=

a± a2-4

2

，
令f′（x）＞0，则

a- a2-4

2

＜x＜

a+ a2-4

2

，
f′（x）＜0，则0＜x＜

a- a2-4

2

或x＞

a+ a2-4

2

，
此时f（x）的单调增区间为（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

），
单调减区间为（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）；
（2）证明：令t=

1

x

，当x＞0时，不等式ln（1+

1

x

）＜

1

x2+x

，
即为ln（1+t）＜

t

1+t

，
令y=ln（1+t）-

t

1+t

，y′=

1

1+t

-

1+t -t• 1 2 • 1 1+t

1+t

=-

( 1+t -1)2

2(1+t) 1+t

＜0，
即有函数y在x＞0递减，即有ln（1+t）-

t

1+t

＜0成立，
即有ln（1+t）＜

t

1+t

．
故当x＞0时，不等式ln（1+

1

x

）＜

1

x2+x

成立．

点评：本题考查导数的运用：求函数的单调性，考查函数的单调性的运用，考查分类讨论和构造函数的思想方法，考查运算能力，属于中档题．