Question

方

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1的曲线即为函y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：
①x在R上单调递减；
②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；
③函数y=f（x）的值域是R；
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程

y|y|

16

+

x|x|

9

=1确定的曲线．
其中所有正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：圆锥曲线的共同特征

专题：函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，化简方程方

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1，作出函数y=f（x）的图象，
由函数的图象判断函数在R上的单调性以及值域，得出①③是否正确；
判断F（x）=4f（x）+3x=0是否存在零点，得出②是否正确；
根据函数的对称性得出g（x）的解析式是什么，判断④是否正确．

解答： 解：对于①，根据题意画出方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1的曲线，即为函数y=f（x）的图象，如图所示；
轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．

从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的有下列说法：
①f（x）在R上单调递减，∴①正确；
②由于4f（x）+3x=0即f（x）=-

3

4

x，从而图形上看，函数f（x）的图象与直线y=-

3

4

x没有交点，
∴函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点，②正确；
③函数y=f（x）的值域是R，∴③正确；
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，
则函数y=g（x）的图象是方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1确定的曲线，∴④错误．
综上，以上正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了含有绝对值的二次方程的曲线问题，也考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识的应用问题，解题的关键是画出函数的图象，是难题．