Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=-e^-x+e^x有最小值2；
②函数f（x）=4sin（2x-

π

3

）的图象关于点（

π

6

，0）对称；
③若“p且q”为假命题，则p、q为假命题；
④已知定义在R上的可导函数y=f（x）满足：对?x∈R都有f（-x）=-f（x）成立，
若当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞0
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：利用基本不等式求函数最小值判断命题①；
把x=

π

6

代入函数解析式求解函数值判断命题②；
由复合命题的真值表判断命题③；
利用奇函数在对称区间上具有相同的单调性，结合函数的单调性与导函数符号间的关系判断命题④．

解答： 解：对于①，∵e^x＞0，
∴f（x）=e^-x+e^x≥2

e-x•ex

=2，命题①正确；
对于②，当x=

π

6

时，f(

π

6

)=4sin(2×

π

6

-

π

3

)=0，
∴函数f（x）=4sin（2x-

π

3

）的图象关于点（

π

6

，0）对称，命题②正确；
对于③，若“p且q”为假命题，则p或q为假命题，∴命题③错误；
对于④，由对?x∈R都有f（-x）=-f（x）成立，
∴该函数是定义域内的奇函数，
又当x＞0时，f′（x）＞0，说明函数是（0，+∞）上的增函数，
∴当x＜0时，函数也为增函数，即当x＜0时，f′（x）＞0．命题④正确．
∴正确命题的序号是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求函数的最值，解答④的关键是明确奇函数在对称区间上单调性的关系，是中档题．