Question

如图正方体中，M、N分别是棱AB、CC₁的中点，△M

B

1

P的顶点P在棱CC₁上运动，有以下四个命题：
①△MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值
②△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形一定是三角形
③直线ND₁一定垂直平面MB₁P
④平面MB₁P一定垂直平面ND₁A₁
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,平行投影及平行投影作图法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：①由正方体的性质可知：B₁P在底面ABCD的射影为BC，B₁M在底面ABCD的射影为BM，可得△MB₁P在底面ABCD上的射影图形为△BMC；
②当点P取C₁时，△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是一条线段，而不是三角形；
③直线ND₁与B₁P不一定垂直，因此ND₁不一定垂直平面MB₁P；
④由已知可得A₁D₁⊥B₁M，B₁M⊥D₁N，可得B₁M⊥平面A₁D₁N，即可判断出．

解答： 解：①由正方体的性质可知：B₁P在底面ABCD的射影为BC，B₁M在底面ABCD的射影为BM．
△MB₁P在底面ABCD上的射影图形为△BMC，其面积为定值，正确；
②当点P取C₁时，△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是一条线段，而不是三角形．
③直线ND₁与B₁P不一定垂直，因此ND₁不一定垂直平面MB₁P，不正确．
④∵A₁D₁⊥B₁M，B₁M⊥D₁N，∴B₁M⊥平面A₁D₁N．
因此平面MB₁P一定垂直平面NA₁D₁．正确．
综上可知：①④正确．
故答案为：①④．

点评：本题综合考查了空间线面、面面垂直的判定与性质、正方体的性质等基础知识，属于中档题．