题目内容

在△ABC中，E，F分别在边AB，AC上，D为BC的中点，满足
|
AE
|
|
EB
|
=
|
CF
|
|
FA
|
=
|
AB
|
|
AC
|
=2，
DE
•
DF
=0，则 cos A=（　　）
A、0
B、
3
2
C、
3
4
D、
9
16
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：根据共线向量基本定理及已知的边的关系即可用向量
AB
，
AC
表示
DE
，
DF
：
DE
=
1
6
AB
-
1
2
AC
，
DF
=-
1
2
AB
-
1
6
AC
，根据
DE
•
DF
=0，及|
AB
|=2|
AC
|即可求出cosA．
解答： 解：如图，根据已知条件得：
DE
=
DB
+
BE
=
1
2
CB
+
1
3
BA
=
1
2
(
AB
-
AC
)-
1
3
AB
=
1
6
AB
-
1
2
AC
；
DF
=
DC
+
CF
=
1
2
BC
+
2
3
CA
=
1
2
(
AC
-
AB
)-
2
3
AC
=-
1
2
AB
-
1
6
AC
；
∴
DE
•
DF
=(
1
6
AB
-
1
2
AC
)•(-
1
2
AB
-
1
6
AC
)=-
1
12
AB
2+
2
9
AB
•
AC
+
1
12
AC
2=0；
把|
AB
|=2|
AC
|带入上式并整理得：cosA=
9
16
．
故选：D．
点评：考查共线向量基本定理，向量的加法运算，向量的减法运算，向量的数量积的运算及运算公式．
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25
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9
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