Question

已知函数f（x）与g（x）在R上有定义，f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）对任意的实数x，y都成立，且f（1）=f（2）≠0，则g（1）+g（-1）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：因为只有一个恒等式可用，因此只能采用赋值法逐步求出f（0），f（1），f（2），g（1），g（-1）等相关的函数值，使问题获解．

解答： 解：令x=y=0，则f（0）=f（0）g（0）-f（0）g（0）=0，
令y=0得f（x）=f（x）g（0），令x=1，所以f（1）=f（1）g（0），而f（1）=f（2）≠0，所以g（0）=1，
再令x=0得f（-y）=-g（0）f（y），即f（-y）=-f（y），所以f（x）是奇函数
令x=1，y=-1代入f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）
f（2）=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）且f（-1）=-f（1）
∴f（2）=f（1）[g（-1）+g（1）]
又f（1）=f（2）≠0
得g（1）+g（-1）=1．
故答案为：1

点评：本题技巧性较强，对学生的能力要求较高．在求解过程中得出f（x）为奇函数是解题的关键，使得在求g（-1）+g（1）的过程中将f（-1）和f（1）统一起来，使得式子能够进行化简，最终求出结果．