Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=4a_n-p，其中p为非零常数．
（1）求证：数列{a_n}成等比数列；
（2）若a₂=

4

3

，数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n，b₁=2，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列{a_n}成等比数列；
（2）求出数列{a_n}的通项公式，利用累加法即可求出{b_n}的通项公式．

解答： 证明：（1）∵S_n=4a_n-p（n∈N^*），
∴S_n-1=4a_n-1-p（n∈N^*，n≥2），
两式作差得，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
解3a_n=4a_n-1，
即

an

an-1

=

4

3

．
∴数列{a_n}成等比数列，公比q=

4

3

．
（2）由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-p，解得a₁=

p

3

，a₂=

4

3

，
∴a₂=

4

3

=

p

3

×

4

3

，
解得p=3，即a₁=1，
则a_n=（

4

3

）^n-1，
由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，），得b_n+1-b_n=a_n=（

4

3

）^n-1，
当n≥2时，由累加得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=2+

1-( 4 3 )n-1

1- 4 3

=3×（

4

3

）^n-1-1，
当n=1时，b₁=2也满足b_n=3×（

4

3

）^n-1-1，
故求{b_n}的通项公式为b_n=3×（

4

3

）^n-1-1．

点评：本题主要考查数列的通项公式的应用，等比数列的证明，注意利用a_n=S_n-S_n-1时，必须验证n=1的情形，否则容易出错误．