已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的长轴长为2$\sqrt{2}$.离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程,(Ⅱ)已知A.B为椭圆的左右两个顶点.T为椭圆上在第一象限内的一点.l为过点B且垂直x轴的直线.点S为直线AT与直线l的交点.点M以SB为直径的圆与直线TB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为2$\sqrt{2}$，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知A，B为椭圆的左右两个顶点，T为椭圆上在第一象限内的一点，l为过点B且垂直x轴的直线，点S为直线AT与直线l的交点，点M以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点，求证：O，M，S三点共线．

分析（Ⅰ）由a及椭圆的离心率公式求得c值，则b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线AT的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得T点坐标，由BT⊥SM，则$\overrightarrow{SO}$=（-$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$k），则$\overrightarrow{SO}$•$\overrightarrow{BT}$=$\frac{8{k}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，BT⊥SO，即可O，M，S三点共线．

解答解：（Ⅰ）由题意知：a=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则c=1，
又b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$； …（4分）
（Ⅱ）设直线AT方程为：y=k（x+$\sqrt{2}$），（k＞0），设点T坐标为（x₁，y₁），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，则（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$k²x+4k²-1=0，…（5分）
由韦达定理x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，又A点坐标为（-$\sqrt{2}$，0），
得x₁=$\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₁=$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，…（7分）
又B点坐标为（$\sqrt{2}$，0），则$\overrightarrow{BT}$=（-$\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），…（8分）
由圆的性质得：BT⊥SM，
所以，要证明O，M，S三点共，只要证明BT⊥SO即可，…（9分）
又S点横坐标为$\sqrt{2}$，则S点坐标为（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$k），$\overrightarrow{SO}$=（-$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$k），
$\overrightarrow{SO}$•$\overrightarrow{BT}$=$\frac{8{k}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，…（11分）
即BT⊥SO，又BT⊥SM，
∴O，M，S三点共线．…（12分）