Question

11．已知函数f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）对任意x∈[1，+∞），总有f（x）≥0成立，求实数k的取值范围；
（2）若-8＜k＜0，求函数|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥0分离出参数k，得k≥-2x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），记g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），则问题等价于k≥g（x）_max，由单调性可得g（x）_max；
（2）对x和k进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，可得函数|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值．

解答 解：（1）f（x）≥0⇒|x²-1|+x²+kx≥0⇒k≥-$\frac{|{x}^{2}-1|+{x}^{2}}{x}$=-2x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），
记g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，易知g（x）在[1，+∞）上递减，
∴g（x）_max=g（1）=-1，
∴k≥-1；
（2）当x∈[0，1）时，f（x）=|x²-1|+x²+kx=1-x²+x²+kx=kx+1，
由-8＜k＜0得：此时函数为减函数，当x=0时取最大值1，
当x∈[1，2]时，f（x）=|x²-1|+x²+kx=x²-1+x²+kx=2x²+kx-1，
此时函数的图象是开口朝上，且以直线x=$-\frac{k}{4}$∈（0，2）为对称轴的抛物线，
当$-\frac{k}{4}$∈（0，$\frac{3}{2}$]，即-6≤k＜0，函数f（x）x=2时，取最大值2k+7，
当$-\frac{k}{4}$∈（$\frac{3}{2}$，2），即-8＜k＜-6，函数f（x）x=1时，取最大值k+1，
若-3＜k＜0，则2k+7＞1，则函数|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值为2k+7，
若-8＜k≤-3，则2k+7≤1，则函数|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值为1，
综上可得：函数|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值为：$\left\{\begin{array}{l}2k+7，-3＜k＜0\\ 1，-8＜k≤-3\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，难度中档．