Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥CD；
（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，
求出$\frac{PM}{MC}$的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥面PAD，由此能证明CD⊥AE．
（Ⅱ）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面PBD所成角的正弦值．
（Ⅲ）设$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CP}\;，\;（0≤λ≤1）$，则 $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CM}=（1-2λ，2-2λ，2λ）$．由此利用向量法能求出结果．

解答 （Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．
因为AD⊥CD，AD∩AP=A，
所以CD⊥面PAD．
由于AE?面PAD，所以有CD⊥AE．…（4分）
（Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），
不妨设AB=AP=2，可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
由E为棱PD的中点，得E（0，1，1）．$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1）
向量$\overrightarrow{BD}=（-2，2，0）$，$\overrightarrow{PB}=（2，0，-2）$．
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$为平面PBD的法向量，则$∫\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}$=0，即∫-2x+2y=0．
不妨令y=1，可得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）为平面PBD的一个法向量．
设直线AE与平面PBD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以，直线AE与平面PBD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（11分）
（Ⅲ）解：向量$\overrightarrow{CP}=（-2，-2，2）$，$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$．
由点M在棱PC上，设$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CP}\;，\;（0≤λ≤1）$．
故 $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CM}=（1-2λ，2-2λ，2λ）$．
由FM⊥AC，得$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AC}$=0，
因此，（1-2λ）×2+（2-2λ）×2=0，解得$λ=\frac{3}{4}$．
所以 $\frac{PM}{MC}=\frac{1}{3}$．…（13分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．