Question

2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）在棱CC₁上是否存在点E，使AE⊥A₁B？若存在，求出EC的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结BC₁，CB₁，BC₁∩CB₁=O，连结OD，则OD∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱CC₁上存在点E，使AE⊥A₁B，此时EC=$\frac{9}{4}$．

解答 证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，连结BC₁，CB₁，BC₁∩CB₁=O，
∵BCC₁B₁是矩形，∴O是C₁B的中点，
连结OD，∵点D是AB的中点，∴OD∥AC₁，
∵AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
解：（2）∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），A₁（3，0，4），
假设在棱CC₁上存在点E（0，0，t），0≤t≤4，使AE⊥A₁B，
则$\overrightarrow{AE}$=（-3，0，t），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-3，4，-4），
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=9-4t=0，解得t=$\frac{9}{4}$，
∴在棱CC₁上存在点E，使AE⊥A₁B，此时EC=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．