某工厂准备裁减人员.已知该工厂现有工人2m人.据评估.在生产条件不变的情况下.每裁减1人.留岗人员每人每年多创利$\frac{n}{50}$万元.但工厂需支付被裁减人员每人每年$\frac{4n}{5}$万元生活费.且工厂正常生产人数不少于现有人数的$\frac{3}{4}$(注:效益=工人创利-被裁减人员生活费)．(1)求该厂的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．某工厂准备裁减人员，已知该工厂现有工人2m（80＜m＜300）人，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁减1人，留岗人员每人每年多创利$\frac{n}{50}$万元，但工厂需支付被裁减人员每人每年$\frac{4n}{5}$万元生活费，且工厂正常生产人数不少于现有人数的$\frac{3}{4}$（注：效益=工人创利-被裁减人员生活费）．
（1）求该厂的经济效益y（万元）与裁员人数x的函数关系；
（2）为获得最大经济效益，该厂应裁员多少人？

分析（1）根据已知中每裁减1人，留岗人员每人每年多创利$\frac{n}{50}$万元，但工厂需支付被裁减人员每人每年$\frac{4n}{5}$万元生活费可得：经济效益y（万元）与裁员人数x的函数关系；
（2）根据二次函数的图象和性质，可得为获得最大经济效益，该厂应裁员人数．

解答解：（1）由已知中每裁减1人，留岗人员每人每年多创利$\frac{n}{50}$万元，但工厂需支付被裁减人员每人每年$\frac{4n}{5}$万元生活费可得：
该厂的经济效益y（万元）与裁员人数x的函数关系为：y=（2m-x）x×$\frac{n}{50}$-x×$\frac{4n}{5}$=$-\frac{n}{50}{x}^{2}$+$\frac{mn-20n}{25}$x，
又由工厂正常生产人数不少于现有人数的$\frac{3}{4}$，
可得：0＜x≤$\frac{m}{2}$，
故y=$-\frac{n}{50}{x}^{2}$+$\frac{mn-20n}{25}$x，0＜x≤$\frac{m}{2}$，
（2）由函数y=$-\frac{n}{50}{x}^{2}$+$\frac{mn-20n}{25}$x的图象是开口朝上，且以直线x=m-20为对称轴的抛物线，
∵80＜m＜300，
∴m-20＞$\frac{m}{2}$，
当0＜x≤$\frac{m}{2}$时，函数为增函数，
当x=$\frac{m}{2}$时，函数取最大值，
故为获得最大经济效益，该厂应裁员$\frac{m}{2}$人．

点评本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，二次函数的图象和性质，难度中档．