Question

20．已知函数f（x）=xlnx-a（x-1），a∈R．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，求证：f（x）在（0，a）上为减函数；
（3）若当x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）讨论f（x）的导数的单调性，求得φ（a）=lna+1-a的导数，判断单调性，可得f（x）的导数的符号，即可得证；
（3）方法一、求出f（x）的导数，讨论①当a≤1时，②当a＞1时，判断单调性，即可得到所求范围；
方法二、令$g（x）=lnx-a（1-\frac{1}{x}）$，求出导数，讨论①当a≤1时，②当a＞1时，判断单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）对f（x）求导，得f′（x）=lnx+1-a，
则f'（1）=1-a．又f（1）=0，
即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（1-a）（x-1）；
（2）因为f′（x）=lnx+1-a为增函数，
所以当x∈（0，a）时，f′（x）＜f'（a）=lna+1-a．
令φ（a）=lna+1-a，求导得$φ'（a）=\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}$．
当a∈（0，1）时，φ'（a）＞0，φ（a）为增函数；
当a∈（1，+∞）时，φ'（a）＜0，φ（a）为减函数．
因此φ（a）≤φ（1）=0，即f′（a）≤0．
所以，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，a）上为减函数；
（3）解法1：f'（x）=lnx+1-a．
①当a≤1时，因为f'（x）=lnx+1-a为增函数，
所以当x≥1时，lnx+1-a≥ln1+1-a=1-a≥0，因此f'（x）≥0．
当且仅当a=1且x=1时等号成立．所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．
因此当x≥1时，f（x）≥f（1）=0．
②当a＞1时，由f'（x）=lnx+1-a=0，得lnx=a-1．解得x=e^a-1．
当x∈（1，e^a-1）时，f'（x）＜0，
因此f（x）在（1，e^a-1）上为减函数．
所以当x∈（1，e^a-1）时，f（x）＜f（1）=0，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，1]．
解法2：f（x）=xlnx-a（x-1）≥0?$lnx-a（1-\frac{1}{x}）≥0$．
令$g（x）=lnx-a（1-\frac{1}{x}）$，则$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$．
①当a≤1时，因为x≥1，所以g'（x）≥0．当且仅当a=1且x=1时等号成立．
所以g（x）在（1，+∞）上为增函数．
因此，当x≥1时，g（x）≥g（1）=0．此时f（x）≥0．
②当a＞1时，当x∈（1，a）时，g'（x）＜0，因此g（x）在（1，a）上为减函数．
所以，当x∈（1，a）时，g（x）＜g（1）=0，此时f（x）＜0，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．