Question

20．据气象中心观察和预测：发生于 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l 左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．
（1）求速度v 关于时间t 的函数解析式；
（2）求路程s 关于时间t 的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）由图象可知：直线OA的方程是：v=3t，直线BC的方程是：v=-2t+70；分段求函数解析式；
（2）求函数在每一段上的函数的取值，从而确定路程s 关于时间t 的函数解析式．

解答 解：（1）当0≤t≤10时，设v=kt，因为函数过点（10，30）（（2分）
所以k=3 此时v=3t
当10＜t＜20时，设v=a，因为函数也过点 （10，30）（2分）
所以v=30
当20≤t≤35时 设v=kt+b，因为函数点（20，30），（30，0），
所以：$\left\{\begin{array}{l}20k+b=30\\ 35k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=70\end{array}\right.$
综上：v=$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}t，t∈[0，10]\\ 30，t∈（10，20）\\-2t+70，t∈[20，35]\end{array}\right.$
（2）由图象可知：
直线OA的方程是：v=3t，直线BC的方程是：v=-2t+70；
当t=4时，v=12，
所以s=$\frac{1}{2}$×4×12=24；
当0≤t≤10时，s=$\frac{1}{2}$t•3t=$\frac{3}{2}$t²；
当10＜t≤20时，s=30t-150，
当20＜t≤35时，s=-t²+70t+550；
综上可知，s随t变化的规律是
s=$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}{t}^{2}，0≤t≤10\\ 30t-150，10＜t≤20\\-{t}^{2}+70t+550，20＜t≤35\end{array}\right.$；

点评 本题考查了分段函数在实际问题中的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．