Question

2．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点．
（Ⅰ）证明：BD₁∥平面AEC；
（Ⅱ）证明：平面AEC⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD交AC于F，连EF．可证EF∥D₁B，又EF?平面EAC，从而可求得BD₁∥平面EAC．
（Ⅱ）先证明AC⊥BD，有DD₁⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，可证明DD₁⊥AC，从而可证AC⊥平面D₁DB，即证明平面D₁DB⊥平面AEC．

解答 证明：（Ⅰ）BD交AC于F，连EF，
因为F为正方形ABCD对角线的交点，
所长F为AC、BD的中点，
在DD₁B中，E、F分别为DD₁、DB的中点，
所以EF∥D₁B，
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC；
（Ⅱ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC
DD₁?平面D₁DB，BD?平面D₁DB，BD∩DD₁=D
∴AC⊥平面D₁DB
∵AC?平面AEC，
∴平面D₁DB⊥平面AEC．

点评 本题主要考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了转化思想，综合性较强，属于中档题．