Question

7．正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1
（1）证明：面A′BD∥面B′CD′
（2）求点B′到面A′BD的距离．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形BB′D′D是平行四边形，可得D′B′∥面A′BD，同理证明B′C∥面A′BD，从而利用两个平面平行的判定定理证得面A′BD∥面B′CD′．
（2）利用等体积法，求点B′到面A′BD的距离．

解答 （1）证明：∵B′B平行且等于A′A，A′A平行且等于D′D，
∴B′B平行且等于D′D，
∴四边形BB′D′D是平行四边形，
∴D′B′∥DB，
∵D′B′?面A′BD，DB?面A′BD，
∴D′B′∥面A′BD，
同理B′C∥面A′BD，
∵D′B′∩B′C=B′，
∴面A′BD∥面B′CD′．
（2）解：设点B′到面A′BD的距离为h，则
∵△A′BD的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理的应用，考查点到平面的距离，属于中档题．