Question

10．若函数f（x）=ax³+2bx²-4x在x=-2与$x=\frac{2}{3}$处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）已求出函数的导函数，根据f（x）在x=-2与$x=\frac{2}{3}$处取得极值，得导函数值为0，从而求出a，b的值；
（2）利用导数求函数f（x）的单调区间，首先求出极值点，再进行求解；

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax³+2bx²-4x，可得f′（x）=3ax²+4bx-4．
而f（x）在x=-2与$x=\frac{2}{3}$处取得极值，
∴$\left\{\begin{array}{l}f′（-2）=0\\ f′（\frac{2}{3}）=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}3a-2b-1=0\\ a+2b-3=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$，
函数f（x）的解析式f（x）=x³+2x²-4x．
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x，
f′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）
列表如下：

x	（-∞，-2）	（-2，$\frac{2}{3}$）	（$\frac{2}{3}$，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	单增	单减	单增

∴f（x）的单增区间分别是（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞），单减区间是（-2，$\frac{2}{3}$）．
所求函数的单调增区间为：（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞）．

点评 此题主要考查利用导数研究函数的单调性，明确极值点与f′（x）的关系，是一道中档题；