已知f(x)定义域为A.值域为B．若B?A.则称f(x)在A上为“内向函数 .若A?B.则称f(x)在A上为“外向函数．=tanx.试判断f(x)在定义域上是“内向函数还是“外向函数 ,=lnx-\frac{a}{x}$在[1.e]上是“内向函数 .求a的范围,(3)若B⊆A.则称f(x)在A上为“伪内向函数．试证:f上是“伪内向函数 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知f（x）定义域为A，值域为B．若B?A，则称f（x）在A上为“内向函数”，若A?B，则称f（x）在A上为“外向函数”．
（1）若f（x）=tanx，试判断f（x）在定义域上是“内向函数”还是“外向函数”；
（2）若$f（x）=lnx-\frac{a}{x}（{a≤0}）$在[1，e]上是“内向函数”，求a的范围；
（3）若B⊆A，则称f（x）在A上为“伪内向函数”．试证：f（x）=ax-lnx在[1，+∞）上是“伪内向函数”的充要条件是a≥1．

分析（1）根据“内向函数”和“外向函数”的定义，进行判断即可；
（2）根据内向函数的定义，建立集合关系进行求解即可．
（3）根据充分条件和必要条件的定义结合“伪内向函数”的定义进行求解即可．

解答解：（1）由题意的f（x）=tanx的定义域A={x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}，值域B=（-∞，+∞），满足A?B，∴f（x）在A上为“外向函数”…（2分）
（2）$f（x）=lnx-\frac{a}{x}$在[1，e]上是“内向函数”等价于f（x）的定义域A真包含于值域B，
f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$
令f′（x）=0，解得x=-a，
列表可得f（x）在（0，-a）上单调减，（-a，+∞）上单调增．
1°当-a＜1，即a＞-1时，∵x∈[1，e]，∴f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，e]单调递增．
可得f（x）_min=f（1）=-a，f（x）_max=f（e）=1-$\frac{a}{e}$，
由“内向函数”的定义可知：$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=-a≥1}\\{f（e）=1-\frac{a}{e}≤e}\end{array}}\right.$，且“=”不同时成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{a≥e-{e^2}}\end{array}}\right.$，显然不等式组无解．…（4分），
2°当a＜-e时，
∵x∈[1，e]，∴f'（x）＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，e]单调递减，
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=1-\frac{a}{e}，f{（x）_{max}}=f（1）=-a$．
由“内向函数”的定义可知：$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=-a≤e}\\{f（e）=1-\frac{a}{e}≥1}\end{array}}\right.$，且“=”不同时成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a≥-e}\\{a≤0}\end{array}}\right.$，又因为a＜-e，所以不等式组亦无解．…（6分）
3°当-e≤a≤-1时，
当x∈（1，-a）时，f′（x）＜0，当x∈（-a，e）时，f′（x）＞0，
∴f（-a）为极小值，在区间[1，e]上，f（-a）为最小值，最大值为f（1）或f（e）
由“内向函数”的定义可知：$\left\{{\begin{array}{l}{f（{-a}）≥1}\\{f（1）≤e}\\{f（e）≤e}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{ln（{-a}）+1≥1}\\{-a≤e}\\{1-\frac{a}{e}≤e}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{a≥-e}\\{a≥e-{e^2}}\end{array}}\right.$，
综上所述解得：-e≤a≤-1…（8分）
经检验，当a=-e或a=-1时，A≠B成立
综上可得得：a的范围为[-e，-1]…（10分）
（3）充分性：
把f（x）看作关于a的函数h（a），显然这是关于a的一元一次函数，
∵x≥1，∴h（a）单调递增．∵a≥1，∴f（x）=ax-lnx≥x-lnx，
下证x-lnx≥1，
令g（x）=x-lnx，${g^'}（x）=1-\frac{1}{x}$，∵x∈[1，+∞）∴g′（x）≥0∴x∈[1，+∞）时，g（x）单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=1，
∴g（x）≥1，即x-lnx≥1，
∴f（x）在[1，+∞）恒成立，那么显然B⊆A…（14分）
必要性：
f（x）在[1，+∞）是“伪内向函数”，
∴f（x）≥1在[1，+∞）恒成立，
当x=1时，f（1）=a≥1，∴a≥1…（16分）
证毕