Question

2．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，记z=ax-y（其中a＞0）的最小值为f（a），若f（a）≥-$\frac{2}{5}$，则实数a的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得f（a），再由f（a）≥-$\frac{2}{5}$，求得实数a的最小值．

解答 解：由实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x+5y-25=0}\end{array}\right.$，得A（1，$\frac{22}{5}$），
由z=ax-y，得y=ax-z，由图可知，当直线y=ax-z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为f（a）=a-$\frac{22}{5}$．
由f（a）≥-$\frac{2}{5}$，得a-$\frac{22}{5}$≥-$\frac{2}{5}$，∴a≥4，即a的最小值为4，
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．