Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{b}{a}cosC=（{3-\frac{c}{a}}）cosB$．
（1）求sinB的值；
（2）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和三角形的内角和定理可得cosB，即可得sinB的值．
（2）由BD=1，运用向量的关系可得|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$|=2|$\overrightarrow{BD}$|=2，平方后，可得|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4利用基本不等式即可求解△ABD面积的最大值．

解答 解：（1）由$\frac{b}{a}cosC=（{3-\frac{c}{a}}）cosB$．
可得：$\frac{b}{a}cosC+\frac{c}{a}cosB=3cosB$
由正弦定理：$\frac{sinBcosC+sinCcosB}{sinA}=3cosB$．
得：$\frac{sinA}{sinA}=3cosB$．即cosB=$\frac{1}{3}$．
那么：sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）由BD=1，运用向量的关系，可得|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$|=2|$\overrightarrow{BD}$|=2，
可得：|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，
则|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+2|$\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}$|cosB=4，
由余弦定理：得|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=4-$\frac{2}{3}$×|$\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}$|
∵|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²≥2|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|，（当且仅当|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BC}$|时取等号）
∴4-$\frac{2}{3}$×|$\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}$|≥2|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|，
∴|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|≤$\frac{3}{2}$．
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|sinB≤$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
那么：△ABD面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，基本不等式的灵活运用，考查运算能力，属于中档题．