Question

5．在△OAB中，$\overrightarrow{OA}$=4$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点，若$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=μ$\overrightarrow{OB}$，（λ，μ＞0），则λ+μ的最小值为（　　）

• A． $\frac{{2+\sqrt{3}}}{7}$
• B． $\frac{{3+\sqrt{3}}}{7}$
• C． $\frac{{3+2\sqrt{3}}}{7}$
• D． $\frac{{4+2\sqrt{3}}}{7}$

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{OB}$，若过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点，若$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=μ$\overrightarrow{OB}$，（λ，μ＞0），则$\frac{1}{λ}$+$\frac{3}{μ}$=7，再由基本不等式可得答案．

解答 解：由A，M，D三点共线可得存在实数t使得
$\overrightarrow{OM}$=t$\overrightarrow{OA}$+（1-t）$\overrightarrow{OD}$=t$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$（1-t）$\overrightarrow{OB}$，
同理由C，M，B三点共线可得存在实数m使得
$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{OB}$+（1-m）$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$（1-m）$\overrightarrow{OA}$+m$\overrightarrow{OB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{4}（1-m）\\ \frac{1}{2}（1-t）=m\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{7}\\ t=\frac{1}{7}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{OB}$，
设$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{OE}$+y$\overrightarrow{OF}$=xλ$\overrightarrow{OA}$+yμ$\overrightarrow{OB}$，
则$\left\{\begin{array}{l}xλ=\frac{1}{7}\\ yμ=\frac{3}{7}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}7x=\frac{1}{λ}\\ 7y=\frac{3}{μ}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{λ}$+$\frac{3}{μ}$=7，
故λ+μ=$\frac{1}{7}$（λ+μ）（$\frac{1}{λ}$+$\frac{3}{μ}$）=$\frac{1}{7}$（1+3+$\frac{μ}{λ}$+$\frac{3λ}{μ}$）≥$\frac{4+2\sqrt{3}}{7}$，
即λ+μ的最小值为$\frac{4+2\sqrt{3}}{7}$，
故选：D

点评 本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，难度中档．