Question

10．若f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0，|θ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示，
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）的单调区间及对称轴．

Answer 1

分析 （1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据正弦函数图象及性质可得f（x）的单调区间及对称轴．

解答 解：：（1）由题设图象知，周期T=$\frac{11π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2．
∵点（-$\frac{π}{12}$，0）在函数图象上，
∴Asin（-2×$\frac{π}{12}$+φ）=0，即sin（$-\frac{π}{6}$+φ）=0．
又∵$-\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{2π}{3}$＜$-\frac{π}{6}$+φ＜$\frac{π}{3}$，从而$-\frac{π}{6}$+φ=0，即φ=$\frac{π}{6}$．
又∵点（0，1）在函数图象上，
∴1=Asin（$\frac{π}{6}$），
解得：A=2．
故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
根据正弦函数图象及性质，
可知：2x+$\frac{π}{6}$∈[2πk$-\frac{π}{2}$$，2kπ+\frac{π}{2}$]是单调增区间，即2πk$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：kπ$-\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{π}{6}$．（k∈Z）
可知：2x+$\frac{π}{6}$∈[2πk$+\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{3π}{2}$]是单调减区间，即2πk$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$，
解得：kπ$+\frac{π}{6}$≤x≤kπ$+\frac{5π}{3}$．（k∈Z）
可知：对称轴方程为2x+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，（k∈Z）
解得：x=$\frac{1}{2}$kπ$+\frac{π}{6}$，（k∈Z）
故得f（x）的单调增区间是[kπ$-\frac{π}{3}$，kπ$+\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
单调减区间是[kπ$+\frac{π}{6}$，kπ$+\frac{5π}{3}$]（k∈Z）；
对称轴方程：x=$\frac{1}{2}$kπ$+\frac{π}{6}$，（k∈Z）；

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，学会看图象，搞懂图象的含义求出函数的解析式的关键．