Question

15．定义平面向量的一种运算：$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=|${\overrightarrow a}$|•|${\overrightarrow b}$|•sin＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞，则下列命题：
①$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=$\overrightarrow b$?$\overrightarrow a$；               
②λ（$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$）=（λ$\overrightarrow a$）?（λ$\overrightarrow b$）；
③（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）?$\overrightarrow c$=$\overrightarrow a$?$\overrightarrow c$+$\overrightarrow b$?$\overrightarrow c$；   
④若$\overrightarrow a$=（x₁，y₁），$\overrightarrow b$=（x₂，y₂），则$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=|x₁y₂-x₂y₁|
其中真命题是①④．

Answer 1

分析 ①根据定义不难得出是正确的；
②依据定义即可判断其正确性；
③直接代入定义即可验证；
④根据给出的两向量的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可．

解答 解：对于①：$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=|${\overrightarrow a}$|•|${\overrightarrow b}$|•sin＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞，而$\overrightarrow b$?$\overrightarrow a$=|${\overrightarrow b}$|•|${\overrightarrow a}$|•sin＜$\overrightarrow{b}$，${\overrightarrow a$＞，故①正确，
对于②λ（$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$）=λ|${\overrightarrow a}$|•|${\overrightarrow b}$|•sin＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞，（λ$\overrightarrow a$）?（λ$\overrightarrow b$）=λ²|${\overrightarrow a}$|•|${\overrightarrow b}$|•sin＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞；故②不正确，
对于③（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）?$\overrightarrow c$=$\overrightarrow a$?$\overrightarrow c$+$\overrightarrow b$?$\overrightarrow c$，显然不成立，
对于④∵$\overrightarrow a$=（x₁，y₁），$\overrightarrow b$=（x₂，y₂），
∴|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，|${\overrightarrow b}$|=$\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x₁x₂+y₁y₂，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}•\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}}$，
∴sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}•\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}}$，
则$\overrightarrow a$?$\overrightarrow b$=|x₁y₂-x₂y₁|，故④正确
故答案为：①④

点评 本题考查的知识点是平面向量的运算，合情推理，正确理解新定义及熟练掌握向量的运算性质是解题的关键．