Question

4．在平面直角坐标系xoy中直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=2．
（1）写出直线l的一般方程及圆C的标准方程；
（2）设P（-1，1），直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|-|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）消去参数t，可得直线l的一般方程，根据ρ²=x²+y²，可得圆C的标准方程．
（2）判断P点位置，设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），利用参数方程的几何意义，求出t_A+t_B，t_A•t_B，即可求|PA|-|PB|的值．

解答 解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t，可得x-1=2（y-2），即直线l的一般方程x-2y+3=0．
由ρ²=x²+y²，可得x²+y²=4．
即圆C的标准方程；x²+y²=4．
（1）已知P（-1，1），易知P在圆内，设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
联立：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
可得：t_A+t_B=$-\frac{8}{5}$，${t}_{A}•{t}_{B}=\frac{1}{5}＞0$．
∴（1+t_A）（1+t_B）=$-\frac{2}{5}＜0$．
两点之间的距离公式：
则|AP|=$\sqrt{5}$（1+t_A）．
则|BP|=$\sqrt{5}$（1+t_B）．
那么：|PA|-|PB|=$\sqrt{5}$|1+t_A）-（1+t_B）|=$\sqrt{5}$|t_A+t_B+2|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决长度问题．利用直角坐标与极坐标间的关系．