Question

16．（1）求证：$\sqrt{8}-\sqrt{6}＜\sqrt{5}-\sqrt{3}$．
（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°；
sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式．

Answer 1

分析 （1）两边平方证明即可；
（2）①根据同角的三角函数的关系以及二倍角公式计算即可；②根据计算结果推广公式即可．

解答 （1）证明：要证明$\sqrt{8}-\sqrt{6}＜\sqrt{5}-\sqrt{3}$成立，
只需证明$\sqrt{8}+\sqrt{3}＜\sqrt{5}+\sqrt{6}$，…（3分）
即${（\sqrt{8}+\sqrt{3}）^2}＜{（\sqrt{5}+\sqrt{6}）^2}$，
即$8+2\sqrt{24}+3＜5+2\sqrt{30}+6$…（7分）
从而只需证明$2\sqrt{24}＜2\sqrt{30}$
即24＜30，这显然成立．
这样，就证明了$\sqrt{8}-\sqrt{6}＜\sqrt{5}-\sqrt{3}$…（9分）
（2）解：①选择（2）式，计算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
=1-$\frac{1}{2}$sin30°
=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．…（14分）
②三角恒等式为sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．…（17分）

点评 本题考查了简单的合情推理问题，考查三角函数的恒等变换以及不等式的证明，是一道中档题．