Question

14．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）证明：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，试求函数关系式k=f（t）．

Answer 1

分析 （1）计算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0即可得出结论；
（2）令$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0即可得出k=f（t）．

解答 （1）证明∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$-1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．
（2）解：∵$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$]•（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）
=-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+t（t²-3）$\overrightarrow{b}$²+[t-k（t²-3）]$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．
又$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|²=4，$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{b}$|²=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴-4k+t³-3t=0，
∴k=f（t）=$\frac{{t}^{3}-3t}{4}$（t≠0）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于中档题．