Question

15．不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．已知f（x）=cos（[x]-x），给出下列结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）是周期函数，且最小值周期为π；
③f（x）的单调递减区间为[k，k+1）（k∈Z）；
④f（x）的值域为[cos1，1）．
其中正确的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 通过计算特殊值验证判断①，②；利用符合函数的单调性判断③，根据[x]-x的范围和余弦函数的性质判断④．

解答 解：对于①，∵f（π）=cos（3-π）=cos（π-3），f（-π）=cos（-4+π）=cos（4-π），
显然f（π）≠f（-π），∴f（x）不是偶函数，故①错误；
对于②，f（0）=cos（0-0）=cos0=1，而f（π）=cos（π-3）≠1，
∴f（0）≠f（π），即f（x）不是周期为π的函数，故②错误；
对于③，当x∈[k，k+1）时，[x]=k，
令t（x）=x-[x]，则t（x）在区间[k，k+1）单调递增，且0≤t（x）＜1，
又y=cosx在[0，1）上单调递减，
∴f（x）=cos（[x]-x）=cos（x-[x]）在[k，k+1）单调递减，故③正确；
对于④，∵-1＜[x]-x≤0，∴f（x）取不到值cos1，且f（x）的最大值为1．
故④错误．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的图象，是中档题．