Question

9．已知结论“a₁、a₂∈R⁺，且a₁+a₂=1，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$≥4：若a₁、a₂、a₃∈R⁺，且a₁+a₂+a₃=1，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$≥9”，请猜想若a₁、a₂、…、a_n∈R⁺，且a₁+a₂+…+a_n=1，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥n²．

Answer 1

分析 通过观察已知条件发现规律，进而归纳推理可得结论．

解答 解：由题意，知：结论左端各项分别是和为1的各数a_i的倒数（i=1，2，…，n），
右端n=2时为4=2²，n=3时为9=3²，
故a_i∈R⁺，a₁+a₂+…+a_n=1时，结论为$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥n²（n≥2）．
故答案为：n²．

点评 本题考查合情推理之归纳推理，找出规律是解决本题的关键，属于基础题．