Question

13．已知函数y=kcos（kx）在区间$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$单调递减，则实数k的取值范围为[-6，-4]∪（0，3]∪[8，9]∪{-12}．

Answer 1

分析 对k的符号进行讨论，利用符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出f（x）的减区间，令区间$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$为f（x）单调减区间的子集解出k的范围．

解答 解：当k＞0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得$\frac{2mπ}{k}$≤x≤$\frac{π}{k}$+$\frac{2mπ}{k}$，m∈Z，
∵函数y=kcos（kx）在区间$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}≥\frac{2mπ}{k}}\\{\frac{π}{3}≤\frac{π}{k}+\frac{2mπ}{k}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k≥8m}\\{k≤3+6m}\end{array}\right.$，m∈Z，∴0＜k≤3或8≤k≤9．
当k＜0时，令-π+2mπ≤-kx≤2mπ，解得$\frac{π}{k}$-$\frac{2mπ}{k}$≤x≤-$\frac{2mπ}{k}$，m∈Z，
∵函数y=kcos（kx）在区间$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}≥\frac{π}{k}-\frac{2mπ}{k}}\\{\frac{π}{3}≤-\frac{2mπ}{k}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k≤4-8m}\\{k≥-6m}\end{array}\right.$，m∈Z，∴-6≤k≤-4，或k=-12，
综上，k的取值范围是[-6，-4]∪（0，3]∪[8，9]∪{-12}．
故答案为：[-6，-4]∪（0，3]∪[8，9]∪{-12}．

点评 本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题．