题目内容
16．已知等差数列{an}前n项和为Sn，且Sn=n2．（1）求通项公式an；
（2）若bn=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$，求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）设等差数列{an}的公差为d，利用Sn=n2，可得a1=S1=1，a1+a2=4，解出即可得出．
（2）bn=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵Sn=n2，∴a1=S1=1，a1+a2=22=4，解得a1=1，a2=3．
∴d=a2-a1=2，∴an=1+2（n-1）=2n-1．
（2）bn=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{bn}的前n项和Tn=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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