Question

18．已知曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα-1}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$，其中t为参数，求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）先消去参数，求出曲线的普通方程，然后利用普通方程和极坐标方程之间的关系进行转化求解即可．
（2）直线方程的极坐标为$θ=\frac{π}{3}$，代入曲线C的极坐标方程求出ρ即可．

解答 解（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα-1\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的普通方程为$\frac{{{{（{x+1}）}^2}}}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入并化简得：$ρ=\frac{3}{2+cosθ}$，
即曲线C的极坐标方程为 $ρ=\frac{3}{2+cosθ}$；
（2）由直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$，得直线的倾斜角满足tanθ=$\frac{y}{x}$=$\sqrt{3}$，即$θ=\frac{π}{3}$，
代入$ρ=\frac{3}{2+cosθ}$得弦长为$\frac{6}{5}$．

点评 本题主要考查参数方程，极坐标方程以及普通方程之间的转化，根据相应的转化公式是解决本题的关键．