在直角坐标系中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$．以直角坐标系的原点为极点.以x轴正半轴为极轴.建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-3=0．(1)求出直线l的普通方程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．在直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t∈R）．以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ-3=0．
（1）求出直线l的普通方程以及曲线C₁的直角坐标方程；
（2）点P是曲线C₁上到直线l距离最远的点，求出这个最远距离以及点P的直角坐标．

分析（1）两式相减消去参数t得出直线的普通方程，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出曲线C₁的直角坐标方程；
（2）设P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），求出P到直线l的距离d关于θ的函数，利用三角函数的性质得出d的最大值和P点坐标．

解答解：（1）直线l的普通方程为y=x+1，即x-y+1=0．
曲线C₁的方程为x²+3y²-3=0，即$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
（2）设P点坐标为（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）．
则P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ-\frac{π}{3}）-1|}{\sqrt{2}}$，
∴当$θ-\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，即θ=$\frac{11π}{6}$时，d取得最大值$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
此时，$\sqrt{3}$cosθ=$\frac{3}{2}$，sinθ=-$\frac{1}{2}$，∴P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，点到直线的距离计算，属于中档题．